nの4次式・素数が絡む整数問題【鈴木貫太郎さんYoutube】

東大入試の理系数学で、2年連続 25点

ネタとしか思えない点数を入試本番で叩き出した元東大生の筆者が、十数年の時を超えて憎き数学にリベンジする。
「大学入試数学」カテゴリの記事では、その勉強プロセスを記録・公開しております。
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問題
ヒント
解答例・解説
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問題

鈴木貫太郎さんのYoutube、2022年3月20日投稿の動画の問題です。

問題

\(n^4-11n^2+49\) が素数となる整数\(n\)を求めよ。

ヒント

ヒント①

整数問題の定石は

不等式で範囲の絞り込み
約数・余りに着目
因数分解して積の形に

の3つですが、4次式の因数分解のパターンといえば・・・

ヒント②

\begin{eqnarray} x^4+4y^4&=&\left(x^2+2y^2\right)^2-4x^2y^2\\[3pt] &=&\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\\[5pt] &=&\left(x^2+2xy+2y^2\right)\left(x^2-2xy+2y^2\right) \end{eqnarray}

解答例・解説

解説動画

解答例

\begin{eqnarray} n^4-11n^2+49 &=& \left(n^2+7\right)^2-25n^2 \\[3pt] &=& \left(n^2+7\right)^2-\left(5n\right)^2 \\[5pt] &=& \left(n^2+5n+7\right)\left(n^2-5n+7\right) \\ \end{eqnarray}

2つの整数の積が素数となるとき、片方の整数は \(1\) または \(-1\) となる。

助手リス

素数をPとして、考えられる組み合わせは
\(P\cdot1, 1\cdot P, \left(-P\right)\left(-1\right), \left(-1\right)\left(-P\right)\) だけってことですね。

ここで、

\[n^2+5n+7=\left(n+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\] \[n^2-5n+7=\left(n-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\]

であるから、与式が素数であるためには \(n^2+5n+7=1\) または \(n^2-5n+7=1\) であることが必要。

（ⅰ）\(n^2+5n+7=1\) のとき

\[\hspace{18pt}n^2+5n+7=1\] \begin{eqnarray} &\Leftrightarrow&\ n^2+5n+6=0 \\[8pt] &\Leftrightarrow&\ \left(n+3\right)\left(n+2\right)=0 \end{eqnarray} \[\quad \therefore\ n=-2,-3\]

① \(n=-2\)のとき

\begin{eqnarray} n^4-11n^2+49 &=& \left(n^2+5n+7\right)\left(n^2-5n+7\right) \\[3pt] &=& 1\cdot\left\{\left(\left(-2\right)^2-5\cdot\left(-2\right)+7\right)\right\}=21 \\ \end{eqnarray}

与式は素数とならず、不適。

② \(n=-3\)のとき

\begin{eqnarray} n^4-11n^2+49 &=& \left(n^2+5n+7\right)\left(n^2-5n+7\right) \\[3pt] &=& 1\cdot\left\{\left(\left(-3\right)^2-5\cdot\left(-3\right)+7\right)\right\}=31 \\ \end{eqnarray}

与式は素数となる。

（ⅱ）\(n^2-5n+7=1\) のとき

\[\hspace{18pt}n^2-5n+7=1\] \begin{eqnarray} &\Leftrightarrow&\ n^2-5n+6=0 \\[8pt] &\Leftrightarrow&\ \left(n-3\right)\left(n-2\right)=0 \end{eqnarray} \[\quad \therefore\ n=2,3\]

① \(n=2\)のとき

\begin{eqnarray} n^4-11n^2+49 &=& \left(n^2+5n+7\right)\left(n^2-5n+7\right) \\[3pt] &=& \left(2^2+5\cdot2+7\right)\cdot1=21 \\ \end{eqnarray}

与式は素数とならず、不適。

② \(n=3\)のとき

\begin{eqnarray} n^4-11n^2+49 &=& \left(n^2+5n+7\right)\left(n^2-5n+7\right) \\[3pt] &=& \left(3^2+5\cdot3+7\right)\cdot1=31 \\ \end{eqnarray}

与式は素数となる。

以上より、\(n=3,-3\) のとき、\(n^4-11n^2+49\) は素数となる。